Las Ecuaciones Diofánticas

por para Ciencia Hoy el . Publicado en Número 34.

La solución de un problema de la vida diaria es la misma que la de una clase de entidades matemáticas conocidas con el nombre de ecuaciones diofánticas. Estudiando a Diofanto, Fermat generalizó las ecuaciones al formular su célebre conjetura (o último teorema).

En una conocida revista de divulgación científica apareció, tiempo atrás, el siguiente problema de ingenio:

Tres compesinos -Pedro, Pablo y Juan-, dueños de un burro, compraron en el mercado cierta cantidad de mangos. Por la noche, mientras los otros dormían, Pedro se acercó a los frutos y verificó que los podía dividir en tres grupos iguales si eliminaba uno; arrojó entonces un mango ol burro y, ontes de volver o dormir; ocultó poro sí un tercio del remonente. Un roto después despertó Pablo, hizo exactamente la misma verificación y procedió de idéntica manera. Algo más tarde se desveló Juan e hizo lo mismo que sus dos compañeros. A la mañana siguiente, los tres fueron juntos a la pila de mangos y comproboran que, dividiendo en tres montones iguales los frutos, sobraba uno: se lo dieron al burro y cada paisano se llevó uno de los montones.
¿Cuál es el menor numero de mangos que podria haber contenido la pila inicial?

Lo primero que se nos ocurre advertir es que, posiblemente, se hubiese podido empezar con diversas cantidades de mangos: es decir el problema general podría tener más de una solución, de las que la buscada en el enunciado anterior es la menor. Una forma de encontrarla sería recurrir a lo que podríamos llamar fuerza bruta, es decir probar con sucesivos números enteros positivos hasta dar con la respuesta. La búsqueda se podría acelerar mediante algún algoritmo para el que se diseñe un programa de computadora, el que, seguramente, encontraría el resultado más rápido que una persona haciendo los cálculos con lápiz y papel. Si se tuviera la suerte de que el número buscado no fuese muy grande, el problema se resolvería con sencillez. Pero hay una manera más general de encararlo, que permite dar no sólo con la solución del menor número buscada, sino con todas las posibles.

Si establecemos que el propósito perseguido es determinar cuántos mangos compraron los campesinos, siguiendo las prácticas habituales denominaremos a ese número la incógnita y lo designaremos con la letra x; además, estableceremos como única condición que esta sólo pueda tomar valores enteros y positivos, pues no se admite fraccionar los mangos, ni tendrían significado real alguno soluciones expresadas por números negativos. La figura l representa la evolución de la cantidad de mangos en la pila y las sucesivas pérdidas que sufre, debidas a las furtivas intervenciones de Pedro, Pablo y Juan. Primero hace su nocturna incursión Pedro, a resultas de la cual el burro recibe un mango, un tercio del remanente (x- I) es escondido por el paisano para sí y en la pila quedan dos tercios de (x- I). Luego actúa Pablo, otra vez va un mango al noble burro, el segundo campesino sustrae un tercio del stock -que es la cantidad que había quedado luego de la visita de Pedro, o sea, dos tercios de (x- I), menos el mango que Pablo dio al asno- y los dos tercios restantes de ese stock quedan en la pila. El proceso se repite en forma similar cuando interviene Juan.

Fig 1

Fig 1

Fig 2

Fig 2

Por la mañana, cuando los tres rústicos se dirigen a la pila, haciéndose los desentendidos y tratando de disimular su sueño y sus sentimientos de culpa, descubren que si retiran un mango (que va al burro, para entonces empachado de devorar mangos) el remanente es exactamente divisible por tres.

Considerando lo acontecido, se podría escribir:

Llamaremos a la anterior ecuación (a). En ella, la expresión a la izquierda del signo igual indica la cantidad de mangos que habían quedado en la pila luego de la intervención de Juan, según se deduce de la columna de la derecha de la figura I. Pero esa cantidad, que se dividió en tres luego de quitar un mango para el burro, debe ser igual al término de la ecuación que está a la derecha del signo de igualdad, el que consta de dos partes: el número uno, el mango del asno, y la cantidad 3y, que simplemente resulta de denominar y a lo que cada uno de los socios infieles se llevó en el reparto final. Nuevamente, y debe ser un número entero positivo.

El lector que aún recuerde el álgebra elemental que aprendió en la secundaria podrá despejar los paréntesis y hacer algunas multiplicaciones de quebrados y pasajes de términos para simplificar la ecuación (a), con lo cual -si no se equivoca- llegará a la expresión siguiente, que es enteramente equivalente a la anterior.

8x - 81y = 65

La expresión (b) pertenece a una clase de entidades matemáticas conocidas con el nombre de ecuaciones diofanticas, por el matemático griego Diofanto de Alejandría, que vivió en esa ciudad en el siglo III de nuestra era y fue un precursor del cálculo algebraico. Obra fundamental es su Aritmético, en trece volúmenes: del resto de sus trabajos sólo se conserva un Tratado sobre los números poligonoles. Las expresiones estudiadas por Diofanto y actualmente conocidas con su nombre son ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, de grado n (con variables elevadas a una potencia no mayor que n) y con raices enteras. Las ecuaciones diofánticas lineales, o de primer grado (n=I), tienen la forma general siguiente:

ax + by = c

Las letras a, b y c son sus coeficientes. La ecuación (b), entonces, es una ecuación diofántica lineal. El método para resolverla, es decir para hallar el valor de sus raíces, es algo largo y engorroso, por lo que no someteremos al lector a la incomodidad de seguir su explicación (y dejaremos que aquellos interesados en conocerlo recurran a cualquier texto, como G.H. Hardy & E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, N. York 1960). Sugerimos que, confiando en nuestro conocimiento, se acepte que la solución de la ecuación está dada por las siguientes expresiones:

x = -650 + 81z
y = -65 + 8z

En estas ecuaciones, la variable z puede tomar valores enteros, es decir, z = 0, I, 2, 3, 4... Dado que a cada valor de z corresponde, según (c), un único par de valores de las raíces x e y, queda confirmada la conjetura inicial de que el problema general enunciado al comienzo tiene infinitas soluciones. Es fácil comprobar que si z = 0, entonces x = -650 e y = -65, valores inaceptables por su signo negativo, que les quita significado real en términos de los mangos de la anécdota. En cambio, para z 9, es x= 79 e y= 7, las primeras raíces positivas y, en consecuencia, la respuesta a la pregunta formulada. La figura 2 ilustra el caso. Otras soluciones, entre las infinitas posibles, son:

z x y
10 160 15
11 241 23
12 322 31

Las ecuaciones diofánticas de segundo grado (n = 2), también llamadas ecuaciones pitagóricas, tienen la forma:

x 2 + y 2 = z 2

Para resolver esta clase de ecuaciones es suficiente determinar ternas de números primos entre si, o ternas coprimas, aquellos conjuntos de tres números que, tomados de a dos, no admiten otro divisor común que la unidad (I o - I). Puede demostrarse que dichas ternas están expresadas por las siguientes relaciones:

x = 2AB
y = B2 - A2
z = A2 + B2

Los símbolos A y B representan números enteros, positivos. coprimos y de distinta paridad. Así por ejemplo:

A B x y z
1 2 4 3 5
2 3 12 5 13
3 4 24 7 25

Como hay infinitas ternas que satisfacen los requisitos indIcados, existen también infinitas soluciones de la ecuacIón diofántica de segundo grado. Por otro lado, si una terna (x, y, z) resuelve la ecuación, también la resuelve la terna (Kx, Ky, Kz). en la que K es cualquier número entero positivo.

Cabe aquí hacer mención del matemático francés Pierre de Fermat, singular personaje considerado el fundador de la teoría de los números, que nació en 1601 cerca de Touluse, en el sur de Francia, y pasó toda su vIda allí, alejado de los centros científicos europeos de la época. trabajó siempre como abogado, juez y consejero del parlamento, y dedicó sus ratos libres a las matemáticas.

Fermat estudió durante algún tiempo la Aritmética de Diofanto -traducida al latín del original griego y editada por primera vez en Europa por Claude de Bachet, en 1621-: como era su costumbre, anotó sus observaciones y comentarios en los márgenes de la obra. Cinco años después de su muerte, acaecida en 1 665, su hijo Samuel publicó la Aritmética con esas notas marginales, que se hicieron célebres y muchas de las cuales se convirtieron en importantes teoremas de la teoría de los números. En la sección dedicada a las ecuaciones diofánticas, Fermat escribió:

...es imposible poro un cubo ser la suma de dos cubos, para una cuarta potencia ser la suma de dos cuartas potencias y, en general, para un número elevado a una potencia mayor que dos, ser la suma de dos números elevados a esa misma potencia. He descubierto una sencilla demostración de esa conjetura, pero no tengo espacio para exponerla en este estrecho margen.

La regla enunciada por Fermat, luego conocida como el último teorema de Fermat o la conjeturo de Fermot, se puede expresar diciendo que la ecuación diofántica xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas para cualquier n mayor que dos (n > 2).

Matemáticos de todas las épocas han tratado de hallar la sencillo demostroción mencionada por Fermat o, por lo menos, una prueba de la validez o falsedad de la célebre conjetura. Pero, hasta hoy, nadie había tenido éxito y el famoso problema era uno de los más importantes no resueltos de la teoría de los números. Los esfuerzos por desentrañarlo, sin embargo, aunque repetidamente fallidos en su propósito esencial, fructificaron en otros resultados de importancia matemática; por ejemplo, la teoría de la factorización de números ciclotímicos (iniciada por Kummer y mejorada por Dedekind con la introducción de los factores ideales) condujo al desarrollo del álgebra abstracta.

Con el advenimiento de las computadoras, se pudo verificar empíricamente que la conjetura de Fermat es válida para exponentes menores que 125.001 (n < 125.001). En 1983, Gerd Faltings, de la universidad de Wuppertal, demostró un teorema, relacionado con las curvas fermatianas (la representación geométrica de la ecuación Xn + Yn = 1, equivalente a la ecuación diofántica de grado o cuyas raíces son números racionales), según el cual la ecuación xn + y n = z n tiene sólo un número finito de soluciones enteras coprimas. Bastaría, entonces, con probar que dicho número es cero para todo n, para que quedara resuelta la conjetura de Fermat. Pero esta otra prueba tampoco ha sido encontrada todavía.

Sin embargo, en 1993, el matemático británico Andrew Wiles bosquejó en una conferencia que dio en Cambridge la prueba de otra conjetura, denominada la de Shimura-Taniyama-WeiI; de ser cierta -se comprendió inmediatamente-, tal prueba dejaría demostrado el último teorema de Fermat. En los dos años transcurridos desde entonces, la prueba de Wiles, que es complejísima y ocupa unas doscientas páginas, ha sido aceptada por la comunidad matemática internacional y, en consecuencia, se considera demostrada la conjetura de Fermat, aunque por un camino que parece muy alejado de la sencilla demostración que mencionó este, acerca de cuya posibilidad, pues, hay motivos de duda.

Es así como las invenciones de un matemático helenístico que vivió hace diecisiete siglos, y las conjeturas de un jurista aficionado a las matemáticas de hace cuatro, acerca de unas inocentes ecuaciones, impulsaron importantes avances contemporáneos de la teoría de los números. El anuncio de que la más célebre de esas conjeturas podía demostrarse desbordó el ámbito académico y atrajo una inusitada atención por parte de la prensa general. Son hechos que nos suscitan complacencia, no desprovista, en el último caso, de considerable desconcierto.

Lecturas Sugeridas

GOLDSTEIN, C., 1995 (junio), "La conjecture de Fermat est enfin un théorème", La recherche, 26:678.

STEWART, I., 1993 (noviembre), "Fermat's Last Time-trip", Scientific American, 269, 5:85.

Eduardo Felizia

Eduardo Felizia

Ente Nacional Regulador Nuclear