Con el llamado "problema de la aguja de Buffon", propuesto en el siglo XVIII por el célebre naturalista francés, nace la teoría de las probabilidades geométricas desarrollada poco después por Laplace en su gran tratado Teoría analítica de las probabilidades (1812). Aunque vinculada inicialmente a los juegos de azar, dicha teoría originó luego la geometría integral o estocástica contemporánea, de interés para la matemática pura y aplicada.
La geometría integral ha permitido el desarrollo de dos técnicas de gran importancia: la estereología y la tomografía computada. La primera es definida, con palabras de un especialista, como "un conjunto de métodos para la exploración del espacio tridimensional a partir del conocimiento de secciones bidimensionales o de proyecciones sobre el plano; es decir, se trata de una extrapolación del plano al espacio". La segunda, que resultó de investigaciones en las que confluyeron la matemática, la física y la ingeniería, permite la reconstrucción del interior del cuerpo humano indicando la posición de cada punto en el espacio y la densidad de su materia. Ello permite el diagnóstico de afecciones en órganos cuya exploración resultaría casi imposiible con el empleo de técnicas tradicionales. El desarrollo histórico de estas áreas de la matemática ilustra el progreso alternado y la interrelación de ciencia y técnica. La necesidad de conocer motiva investigaciones que luego, tarde o temprano, se aplican a la solución de problemas técnicos, los cuales, a su vez, dan lugar a nuevas investigaciones teóricas.
George Louis Leclerc (1707-1788), nornbrado conde de Buffon por Luis XV, fue un gran naturalista francés, posiblemente el mayor de su siglo junto al sueco Karl Linneo. Escribió obras muy importantes, entre las que se encuentra una Historia Natural en 36 volúmenes. A los 27 años ingresó a la Academia de Ciencias de París, como especialista en mecánica racional (disciplina que utiliza métodos matemáticos). Aunque habitualmente su nombre no sea asociado a la matemática, el interés por esta ciencia estuvo siempre presente en su vida. Tanto que en 1777, en el volumen IV del Suplemento a la Historia Natural, publicó un opúsculo titulado "Ensayo de aritmética moral", en el cual se encuentra el origen de las llamadas probabilidades geométricas, más tarde convertidas en geometría integral y geometría estocástica.
Como naturalista, Buffon se interesó por el hombre en su totalidad, con sus reacciones afectivas y sus preocupaciones. Desde su punto de vista, una de las diferencias fundamentales que distingue al ser humano de los animales es que el hombre tiene conciencia de que debe morir. Por ello gran parte de su vida gira en torno del miedo a la muerte, base de sus creencias, ritos, temores y esperanzas.
Las pasiones eran también vistas por Buffon como intrínsecas al hombre y, entre ellas, dedicó especial atención a los juegos de azar. En su "Ensayo de aritmética moral", intenta tratar estas cuestiones (que dicen más respecto del sentimiento que de la razón) por medio del cálculo matemático, estudiando el número y sus influencias en el comportamiento de las personas, razón por la cual agregó el adjetivo "moral" al título de su ensayo.
Desde el punto de vista matemático, la parte más interesante del "Ensayo" es la que se refiere a los juegos de azar. Después de un examén riguroso sobre la "esperanza moral" de las probabilidades -desarrollada por el matemático suizo Jakob Bernoulli (1654-1705) en su libro El arte de conjeturar, publicado ocho años después de su muerte- Buffon observa que "el análisis fue el único instrumento utilizado hasta entonces en la ciencia de las probabilidades, como si la geometría no fuese apropiada para tal fin, cuando en realidad basta un poco de atención para percibir que la ventaja del análisis sobre la geometría es solamente accidental y que el azar es tan propio de la geometría como del análisis". Y agrega: "para dar a la geometría la posición de sus derechos sobre la ciencia de lo aleatorio, bastará inventar juegos que se basen en la extensión y sus relaciones". A continuación menciona como ejemplo el llamado juego franc carreau: sobre un piso cuadriculado se arroja al azar una moneda y se pide la probabilidad de que caiga dentro de uno de los cuadrados, sin cortar a ninguna de las líneas de separación.
Para demostrar que se pueden inventar muchos otros juegos de este mismo estilo, Buffon describe el siguiente juego, que desde entonces ha sido reproducido en muchos textos de probabilidades bajo el nombre de "problema de la aguja de Buffon".
Consideremos un piano (que puede ser el piso o una mesa grande) dividido por rectas paralelas a una distancia D. Sobre el plano, se tira al azar una aguja (segmentode recta) de longitud a, no mayor que D (figura 1).Puede ser que la aguja corte alguna de las rectas paralelas o que no corte a ninguna. La probabilidad de que alguna recta paralela sea cortada por la aguja es:
p = 2 a /p D (1)
Esta fórmula es demostrada por Buffon de manera directa. Para ello es necesario calcular la medida de las posiciones en que la aguja corta alguna paralela (casos favorables) y dividirla por la de todas las posiciones de la aguja en el plano (casos posibles).
Si se considera la experiencia como un juego de azar, la probabilidad p es el valor de la "puesta" que el jugador debe pagar para recibir, en el caso de ganar, un premio de una unidad. Así, el juego puede ser calificado de "equitativo", puesto que, después de un número grande de jugadas, hay una probabilidad tendiente a la certeza de que tanto el jugador como la banca terminen equilibrados, sin ganar ni perder.
Por ejemplo: si a=D y el premio es de una unidad, el valor de la puesta debe ser p = 2 / p = 0,636. Si se cobra más, el juego sera favorable a la banca; si se cobra menos, al jugador.
Con el "problema de la aguja de Buffon" nace la teoría de las probabilidades geométricas. Como vemos, se trata de un juego de azar cuya solución consiste en "medir" los casos favorables y posibles en lugar de "contarlos" (como ocurre en los juegos discretos como los dados o las cartas). La diferencia entre "medir" y "contar" es lo que distingue a la geometría de la aritmética.
Si en lugar de una aguja (segmento de recta de longitud a) se arroja sobre el plano, en el cual están dibujadas las rectas paralelas a una distancia D, una línea poligonal de longitud total L, y se considers el valor de la variable aleatoria N igual al número de puntos en que la poligonal corta a las paralelas (figura 2) se puede calcular fácilmente que la esperanza matemática o valor medio de N es:
E (N) = 2 L / p D (2)
Como toda curva de longitud finita L puede ser considerada el límite de las poligonales inscriptas, resulta que (2) es válida para cualquier curva (como la indicada en la figura 2).
Este resultado también puede ser interpretado como un juego de azar. Sobre un plano dividido por rectas paralelas a una distancia D, se arroja una curva de longitud L y de forma cualquiera (puede ser incluso un hilo flexible). Se acuerda que el jugador recibirá como premio un número de unidades igual al número de puntos en que la curva corte a las paralelas (figura 2, N=4). Para que el juego sea equitativo la puesta debe ser: E (N) = 2L / p D.
Pierre Simon Laplace (1749-1827), en su monumental Teoría analítica de las probabilidades (1812), generalizó el "problema de la aguja de Buffon". Se tiene un plano dividido en rectángulos de lados D1 y D2 ; se tira al azar sobre éste una aguja de longitud a, no mayor que el menor de los lados D1, D2 (figura 3). Entonces, la probabilidad de que la aguja corte alguno de los lados de la red de rectángulos es:
p = ( 2a ( D1 + D2 ) - a2 ) /p D1D2 (3)
Si en lugar de una aguja de longitud a fuera lanzada al azar sobre el plano una curva de longitud L y de forma cualquiera, la esperanza matemática o valor medio del número N de puntos en que la curva corta los lados de la red de rectángulos (en la figura 3, N = 6) será:
E(N) = 2L (D1 + D2) l p D1D2 (4)
Si se toma, por ejemplo, una red de cuadrados D1 = D2 = 10 cm y se arroja al azar sobre la misma una curva de longitud L=20 cm, tendremos: E(N)= 8/p = 2,54. Esto significa que, si decidiéramos que en un juego de azar el jugador recibirá como premio tantas unidades como puntos de intersección resultaran entre la curva y la red de cuadrados, el juego será equitativo cuando el valor de la puesta sea de 2,54 unidades. De cobrarse más, el juego será favorable a la banca; en caso contrario, al jugador.
Si en cualquiera de las experiencias anterires que conducen a las fórmulas (1), (2), (3) ó (4) fuera calculada experimentalmente la probabilidad p o determinado el valor medio E (N) -a través de un número considerable de experiencias-, las fórmulas permitirán calcular cualquier elemento del segundo miembro (por ejemplo, la longitud L de la curva utilizada). Así, en 1812, Laplace observó que "sería posible hacer uso del cálculo de probabilidades para rectificar curvas o cuadrar superficies, pero sin duda los geómetras jamás utilizarán este medio".
Sin embargo Laplace se equivocó. Un siglo y medio después, estas fórmulas pasaron a ser frecuentemente aplicadas para medir longitudes de curvas sobre preparaciones microscópicas. Dichas longitudes pueden ser calculadas, con suficiente aproximación, de la siguiente forma: sobre un preparado para microscopio se coloca un reticulado rectangular o un conjunto de rectas paralelas equidistantes; seguidamente, se cuenta el número de veces que los lados del reticulado o las paralelas cortan a las curvas cuya longitud se desea medir; finalmente, se gira varias veces el reticulado y se toman los valores medios. A este nivel es más fácil "contar" puntos que "medir" longitudes.
Por otra parte, con las computadoras pueden simularse muchas experiencias aleatorias, que permiten calcular experimentalmente valores medios y deducir de ellos los valores de ciertas magnitudes o constantes. Preparando, por ejemplo, un programa que simule el "problema de la aguja de Buffon" o el "problema de Laplace", basado en tablas de números aleatorios que determinen la posición de la aguja o de la curva, es posible calcular el número p , o cualquier elemento de las fórmulas anteriores, conociendo los otros elementos. Esta es la base del difundido "método de Monte Carlo", que adquirió mucha importancia a partir del momento en que las computadoras pasaron a ser utilizadas para simular experiencias y realizarlas en gran número. El método es aplicado en física nuclear y problemas de difusión de partículas.
En los problemas de Buffon y de Laplace falta aún definir una medida para conjuntos de posiciones de la aguja o de la curva que permita calcular la probabilidad de una uotra de ocupar una posición determinada en el plano. Desde el nacimiento de la matemática han sido medidos conjuntos de puntos (longitudes de curvas, áreas de superficies, volúmenes de cuerpos). Pero a partir de los estudios de Buffon y de Laplace, surgió la necesidad de medir conjuntos de otros elementos geométricos, tales como conjuntos de rectas, de curvas o de figuras congruentes cualesquiera.
El primero en ocuparse de este problema de una manera sistemática fue el inglés M.F. Crofton (1826-1915), quien en 1869 definió una medida para conjuntos de rectas del plano. Posteriormente R. Deltheil (en 1929) y W. Blaschke (en 1936) retomaron estos estudios determinando el modo de medir conjuntos de rectas y planos en el espacio y también conjuntos de variedades en espacios de más dimensiones. Con estas medidas y los cálculos hechos a partir de ellas, nació la geometría integral (nombre que le diera W. Blaschke en su Seminario de la Universidad de Hamburgo, en 1936).
La geometría integral -también llamada, por Kendall y Harding, geometría estocástica (1974)- fue aplicada en diversas áreas de la matemática pura (teoría de los cuerpos convexos) y de la matemática aplicada. Este artículo pretende destacar, principalmente, sus aplicaciones más importantes a dos ramas modernas de la tecnología: la estereología y la tomografía computada.
En 1961, en una reunión de especialistas en diferentes ramas de la ciencia (biología, anatomía, botánica, mineralogía, metalurgia, etc.) realizada en Feldberg (Selva Negra, Alemania) se fundó la Sociedad Internacional de Estereología. Su primer presidente, Hans Elias, profesor de la Universidad de Chicago, definió la estereología como "un conjunto de métodos para la exploración del espacio tridimensional a partir del conocimiento de secciones bidimensionales o de proyecciones sobre el plano; es decir, se trata de una extrapolación del plano al espacio".
Desde aquella fecha, se han realizado ya siete congresos internacionales de estereología (Víena, 1963; Chicago, 1967; Berna, 1971; Washington, 1975; Salzburgo, 1979; Florida, 1983; Caen, 1987) y se han publicado muchos artículos sobre la materia -la mayoría en el Journal of Microscopy-, así como algunos libros: el clásico de E.E. Underwood, Quantitative Stereology, Addison-Wesley, 1970, y el más reciente de R. Coleman, An Introduction to Mathematical Stereology, University of Aarhus, 1979.
A continuación expondremos tres temas clásicos de la estereología.
1. Supongamos un cuerpo K del espacio, que contiene en su interior distintas partículas H distríbuidas al azar, de diferentes formas y tamaños. Si se corta K con un plano E, la intersección será una sección plana en la cual las partículas H determinan ciertas áreas (figura 4).
Imaginemos que K sea una roca y H pedazos de minerales distribuidos al azar dentro de K; o bien que K sea un órgano animal (hígado, riñón, cerebro) y H fibras o cavidades de éste órgano cuyo tamaño se requiere determinar a partir de la sección con planos de prueba E. El problema más sencíllo consiste en averiguar la proporción del volumen de partículas H dentro de K, a partir de la proporción de las áreas de las secciones de H y K por el plano E. Se puede medir experimentalmente la proporción AA de las áreas en el plano E y, a partir de allí, deducir la proporción Vv entre los volúmenes de las partículas o cavidades H y el volumen del cuerpo K. Suponiendo que el cuerpo sea cortado por un plano al azar, con una ley de probabilidades proporcional al área de su intersección con K, la geometría integral demuestra que la esperanza matemática de AA es igual a Vv; es decir que AA es un estimador (insesgado) de Vv, lo que se expresa: AA = Vv
2. Supongamos ahora que el cuerpo K contenga en su interior ciertas superficies o láminas H de cualquier forma y de área total SH. Se desea calcular el área de las superficies H por unidad de volumen de K (figura 5). Para ello se puede cortar K con un plano o una recta. Si cortamos K con un plano E, la intersección de E con H será un conjunto de curvas, cuya longitud puede ser medida. La esperanza matemática del cociente entre la longitud de estas curvas planas y el área de la sección de E con K es: (p/4) (SH/Vk). Es decir que el cociente SH/Vk (cantidad de área por unidad de volumen K) puede ser obtenido multiplicando por 4/p la proporción entre la longitud de las curvas de la intersección de E con H, par unidad de área de la intersección de E con K (o sea LA). Simbólicamente: Sv = (4 / p) LA.
El cociente SH/Vk también puede ser obtenido cortando el cuerpo K con una recta G y comparando el número de puntos de intersección entre G y las superficies H con la longitud de la cuerda que G determina en K (número de puntos por unidad de longitud), como indica la figura 6.
Tomando como densidad de medida de las rectas deI espacio aquella que es invariante respecto de los movimientos, salvo un factor de proporcionalidad igual a la longitud de la cuerda que la recta determina en K, la esperanza matemática del cociente entre el referido número de puntos de intersección de G con E y la longitud de la cuerda de intersección de G con K resulta: (1/2) SH/Vk. Por consiguiente, podemos escribir simbólicamente: Sv = 2PL, donde PL (como es costumbre en estereología) es igual al número de puntos de intersección de G con H por unidad de longitud de la cuerda de intersección de G con K. Si H está constituido por las superficies de cuerpos convexos y NL es el número de ellos cortados por la recta G, tenemos por unidad de longitud de la cuerda: NL = PL / 2 de donde Sv = 4 NL.
3. Supongamos ahora que en el interior del cuerpo K existen fibras o hilos H que tengan en total una longitud LH. Se quiere evaluar esta longitud por unidad de volumen de K, o sea evaluar el cociente LH / VK. Para ello, cortamos K con un plano E y contamos el número de puntos NH de intersección del mismo con H (figura 7).
Tomando, como siempre, una densidad para planos E proporcional al área de Ia sección de E con K, la esperanza matemática del cociente entre el número de puntos de intersección de E con H y el área de la sección de E con K, resulta: (1/2) (LH / VK). Por consiguiente, se puede escribir: Lv = 2PA, siendo PA el número medio de puntos de intersección de E con H por unidad de área de la intersección de E con K.
Un problema análogo al de la estereología, aunque mucho más complicado, es el de la tomografía computada. Supongamos, como antes, un cuerpo convexo K, dentro del cual hay una masa de densidad variable dada por una función f(x,y,z), o sea que varía para cada punto de coordenadas (x,y,z). Aquí f (x,y,z) representa la densidad de la sustancia en el interior de K, en el punto de coordenadas (x,y,z) (figura 8).
Supongamos que K sea atravesado por una radiación cualquiera (rayos X, láser), cuya trayectoria sea una recta G, y de la cual se pueda medir su intensidad de entrada y de salida. La diferencia entre estas intensidades será la absorción del rayo por la materia en el interior de K y dependerá de la recta G, por donde el rayo se propaga. Por consiguiente, es posible medir experimentalmente esta función de G que llamaremos F(G). Pero, ¿cómo determinar f(x,y,z) a partir de F(G), que se supone conocida para todas las rectas que atraviesan K? El primero que consideró esta cuestión fue J. Radon (1887-1956). En 1917, este matemático alemán encontró una fórmula para calcular f(x,y,z) a partir de F(G), conocida como "transformada de Radon" .
Al principio, este problema fue encarado como puramente matemático y dio lugar a importantes especulaciones teóricas, sin que se pensase en posibles aplicaciones prácticas. Posteriormente el problema se encaró de dos maneras. La primera, esencialmente teórica, consistió en una generalización a cuerpos de más de tres dimensiones y la sección de los mismos por variedades lineales o no lineales de cualquier dimensión. La idea fue muy fructífera y dio lugar a importantes trabajos, principalmente de Gelfand y Helgason, con los cuales se inició una nueva rama de la matemática, llamada también geometría integral, pero que en el fondo y en la forma era muy diferente a la geometría integral en el sentido que le dieran Blaschke y Crofton.
El otro enfoque tendió a una posible utilización práctica de los resultados de Radon. En efecto, si los rayos con que se atraviesa el cuerpo K son rayos X (u otros), cuya diferencia de intensidad de entrada y de salida puede ser medida con suficiente aproximación, tendremos un método para conocer la distribución f(x,y,z) de la materia en el interior de K; es decir, capaz de reconstruir el interior de K a partir de los datos proporcionados por los rayos que lo atraviesan. De esta manera será posible conocer con exactitud el interior de K, con sus posibles anormalidades o patologías.
En 1963, el físico A.M. Cormack indicó la posibilidad práctica de esas mediciones y sus posibles aplicaciones en medicina. Nacía así la llamada tomografía computada. Diez años después, el ingeniero inglés G.N. Hounsfield perfeccionó los dispositivos de Cormack, comenzando así la era comercial de los aparatos de tomografía.
Las imágenes superiores representan tres planos distintos de una misma persona, "seccionada" por la tomografía computada. El estudio de los cortes tranversales de aproximadamente 10 mm puede revelar lesiones de estructuras profundas sin que sea necesario agredir el organismo del paciente. Los diferentes tejidos aparacen en diversas tonalidades: el aire correspondiente a un color oscuro, los huesos son blancos y los tejidos blandos y líquidos adquieren tonalidades grisáceas. La primera imagen muestra un corte que atraviesa las órbitas, revelando detalles del interior del ojo y del nervio óptico, la cavidad nasal y la parte inferior de la cavidad craneana.
La segunda imagen representa un corte de alta resolución para el estudio de las pequeñas estructuras del oído.
La tercera ofrece un corte del abdomen donde se ven el hígado, los riñones y otras vísceras.
Mientras las radiografías dan solamente una imagen que es una proyección del interior del cuerpo sobre un plano, la tomografía computada reconstruye con precisión el interior del cuerpo, indicando la posición exacta de cada uno de sus puntos en el espacio y la densidad de su materia. Su empleo en la medicina ha sido fundamental para el estudio y diagnóstico de las anormalidades del cerebro y de otras partes del cuerpo humano de difícil acceso por otros medios de observación. Su utilidad ha sido demostrada en otros campos, como la biología molecular y la radioastronomía.
Cormack y Hounsfield recibieron por sus investigaciones el premio Nobel de Medicina en 1979. De haber vivido, ciertamente Radon hubiera participado de este premio, que habrían así compartido un matemático, un físico y un ingeniero.
Cormack y Hounsfield tuvieron que resolver algunos problemas a partir de los resultados teóricos de Radon. Por ejemplo: Radon afirma que se puede conocer f(x,y,z) si se conoce F(G) para "todas" las rectas G. En la práctica solamente podemos tener en cuenta un número finito de rectas (que puede ser grande). Esto lleva a analizar lo que ocurre cuando solamente se conoce F(G) para ese número finito de rectas y la mejor manera de escoger las mismas. Teóricamente, se demuestra que con un número finito de rectas nunca se podrá reconstruir "exactamente" el interior del cuerpo. Se trata entonces de encontrar la aproximación con que puede ser hecha esta reconstrucción y su grado de confiabilidad. Para ello el procedimiento práctico consiste en dividir K en secciones planas y resolver inicialmente el problema sección por sección para, a continuación, integrarlas a todo el cuerpo K (de allí el uso de la palabra "tornografía", derivada de tomos, que en griego significa corte o sección).
Un número grande de rayos paralelos (figura 9) o en abanico (figura 10) pasa por cada sección plana. La dirección de estos rayos varía, por ejemplo, con intervalos de un grado o, en el caso de los rayos en abanico, se hace girar un mismo ángulo el foco del cual parten los rayos.
Si el ángulo de giro es de un grado y para cada dirección (o cada abanico) hay 160 rayos, tendremos en total: 180 x 160 = 28.800 rayos o rectas G, para las cuales se puede conocer F(G). Es decir que, aunque no sea posible medir F(G) para "todas" las rectas, se puede hacer por lo menos para 28.800 rectas -que ya es un número bastante significativo- Por el hecho de haber escogido las rectas uniformemente espaciadas, la matemática ofrece métodos aproximados para aplicar la fórmula de Radon y obtener resultados suficientemente aceptables. Una vez conocida f(x,y,z) para una sección plana, se traslada el objeto K haciéndolo distar un pequeño intervalo de la posición anterior y se repite la operación para una nueva sección plana, y así sucesivamente para varias secciones bien próximas unas de otras.
El problema matemático consiste en hallar f(x,y,z) con la mayor precisión, a partir de los muchos puntos en que se conoce F(G). El problema técnico consiste en medir F(G) a inmediatamente reconstruir f(x,y,z) sobre una pantalla. El primer paso es importante y delicado, ya que es necesario medir diferencias de densidad muy pequeñas (por ejemplo, la densidad de los diferentes tejidos del cerebro humano oscila entre 1,00 g/cm3 y 1,05 g/cm3, y para algunos diagnósticos son necesarias variaciones de densidad del orden de 0,005 g/ cm3). Los dispositivos de medición deben ser de una precisión muy grande, y para reconstruir de inmediato f(x,y,z) a partir de F(G) -o sea a partir de la diferencia de intensidad de los rayos de entrada y de salida del cuerpo- son necesarias computadoras electrónicas muy sofisticadas (que actualmente ya son de uso común).
La estereología y la tomografía computada ilustran bien el proceso de las diferentes etapas en el avance de la ciencia. Originalmente los estudios son motivados por la simple curiosidad de conocer o por encontrar soluciones a los problemas surgidos en actividades extracientíficas (la "pasión" de Buffon por los juegos de azar es un buen ejemplo). Luego, estos resultados obtenidos se revelan aplicables a la solución de problemas prácticos presentados por la técnica: ésta es la etapa de las "aplicaciones" de la ciencia. Posteriormente tales aplicaciones vuelven a presentar problemas de carácter teórico que suscitan nuevamente el interés de los científicos puros, dando origen muchas veces a otros estudios y a teorías exclusivamente especulativas. Así, a través del progreso alternado entre ciencia y técnica, el hombre consigue ampliar paulatinamente su horizonte de conocimientos.
