Inicio Volumen 8 Número 45 Inflación y Caos

Inflación y Caos

Inflación es el nombre que se da al modelo que los científicos han desarrollado para explicar las condiciones iniciales que llevaron al Big Bang. Sin embargo, el proceso inflacionario está lejos de ser completamente entendido. Los estudios sobre caos han aportado nuevos elementos para entender y desarrollar el modelo inflacionario.

Si bien estas dos palabras evocan, por lo general, ideas no relacionadas con la física, se trata, en realidad, de dos conceptos que han evolucionado dentro de esta rama del conocimiento, hasta el punto que hoy en día se los considera indispensable. La inflación introducida en la cosmología a principios de la década del 80 sirvió para darle al Bing Bang un mecanismo que explicase las condiciones iniciales del universo y diese respuesta a algunas preguntas que el modelo no respondía. El caos, por otra parte, no como teoría dinámica sino como forma de "leer" los sistemas complejos, abrió una nueva forma para entender la evolución de los sistemas naturales. El modelo inflacionario y el compartimiento caótico se utilizan hoy en día para desarrollar esquemas que permiten interpretar los datos que la nueva generación de satélites producirá en los proximos años y que, con suerte, harán posible entender con más certeza cuándo y cómo se generó nuestro universo.

INTRODUCCIÓN

La cosmología se ha convertido, en los últimos años, en una de las ramas más activas de la física teórica. Los estudios cosmológicos apuntan a construir un modelo que nos permita entender el origen y evolución de nuestro universo. Estos estudios cobraron ímpetu a partir de los 60, cuando comenzaron a obtenerse datos acerca de la estructura a gran escala del universo y cuando, además, se realizaron avances importantes en la teoría de las partículas elementales -la componente esencial en la descripción del universo en épocas tempranas-. Fue precisamente en esa década que tuvo su origen el modelo cosmológico estándar (MCE o Big Bang) (ver "La salud del Big Bang", CIENCIA HOY, 15:12, 1991) una teoría detallada sobre el curso de los sucesos que acaecieron en el universo primitivo.

Por definición, el universo es el sistema físico que contiene a todos los otros sistemas y, por lo tanto, puede ser considerado como el más completo y complicado de todos. No obstante esta dificultad intrínseca, puede ser estudiado bajo grandes simplificaciones que conducen a modelos que obedecen ciertas ecuaciones matemáticas conocidas. Es precisamente la elaboración de estos modelos y su contraste con los datos experimentales la principal tarea de los cosmólogos. En efecto, existen actualmente modelos que describen con bastante detalle escenarios que podrían corresponder a las primeras etapas de la evolución cósmica. Estos modelos, sin embargo, son cada vez más complejos desde el punto de vista matemático y numérico. De aquí que la implementación de herramientas que permitan tener, al menos, una visión cualitativa parece ser indispensable para una evaluación realista de su comportamiento.

En este sentido han existido progresos importantes durante los últimos quince años en el entendimiento cualitativo de los sucesos ocurridos en los primeros estadios de la evolución del universo. El eje central ha sido la incorporación del caos en estos estudios. Siendo como fueron las energías puestas en juego durante ese periodo extremadamente grandes, la descripcion del campo gravitatorio requiere que se utilice la Teoria de la Relatividad General propuesta por Einstein son no lineales, resulto razonable pensar que las tecnicas y metodos de estudio del caos (mas formalmente, de la Teoria de los Sistemas Dinamicos) podrian ser de utilidad cuando se las aplicase al universo. Pero veamos primero que imagen general podemos hacernos de nuestro viejo universo.

Detalles de Hubble Deep Field. (Instituto Científico del Telescopio Espacial, NASA) Detalles de Hubble Deep Field. (Instituto Científico del Telescopio Espacial, NASA)

El Universo Primitivo

A pesar del aspecto grumoso que el cielo muestra en cualquier noche estrellada, nuestro universo, visto a gran escala, puede considerarse isótropo, homogéneo y en expansión. Aclaremos un poco lo queremos significar por isótropo y homogéono. Consideremos, por ejemplo, el aire de una habitación. Para nuestros ojos, es el mismo en todas direcciones (expresamos que es isótropo) y tiene las mismas propiedades a lo largo de cualquier dirección que se elija (nos referimos a la homogeneidad). Si pudiesemos observarlo con un poderoso microscopio, veríamos, que el aire está, en realidad, compuesto con muchisimas moléculas que chocan y se mueven aleatoriamente. En esta visión la cualidad de isotropía no se ha perdido, pero si la homogeneidad. Si además calentamos el aire en algún rincon, habremos perdido la primera también, ya que una o varias propiedades del aire serán distintas dependiendo de la dirección en que miremos. De la misma manera, el universo puede considerarse lleno de un fluido de materia y radiación isótropo y homogéneo que, visto en detalle (es decir, a través de nuestros ojos que ahora actúan como el microscopio de la habitación) presenta diversas irregularidades (cúmulos de galaxias, galaxias, estrellas, planetas... y seres humanos).

Las observaciones precedentes son las que conducen al esquema que denominamos modelo cosmológico estándar. En él se supone que nuestro universo nació de una singularidad cósmica, un estado de tan alta presión y temperatura que nada, ni la energía (o la materia) ni siquiera el tiempo existían tal como los conocemos ahora. Por algún mecanismo no muy bien determinado, pero probablemente un efecto mecano-cuántico, se inició una gigantesca expansión de esta singularidad (el Big Bang). Se presume que al comienzo la materia y la radiación se encontraban en equilibrio térmico a muy alta temperatura, con la radiación regulando todos los procesos físicos (esta es la así llamada "era dominada por la radiación").

A medida que el universo se fue expandiendo, la mezcla primigenia de materia y radiación se fue enfriando. Cuando la temperatura descendió lo suficiente, los electrones libres se unieron a los núcleos para formar los átomos, por lo que rompieron el equilibrio térmico entre materia y radiación, y el universo se volvió transparente. Toda la radiación que existía en aquella época, al no interactuar más con la materia, ha continuado su viaje, aumentando su longitud de onda (corriéndose hacia el rojo), siguiendo el proceso general de expansión (de la misma forma que el dibujo de un resorte sobre un globo se estira al inflarse este). Hoy se encuentra presente en el espacio que nos rodea.

El MCE se basa en tres pilares fundamentales. El primero es la observación, inicialmente llevada a cabo por Edwin P. Hubble a fines de la década del 20, de que la luz proveniente de las galaxias lejanas está corrida hacia frecuencias más bajas (corrimiento al rojo), en forma proporcional a la distancia que las separa de la Tierra. Este corrimiento se interpreta como una velocidad de retroceso, o alejamiento, e indica que el universo está en expansión (tres puntos dibujados en un globo se alejan, al inflarlo, con velocidad proporcional a la distancia entre ellos). Extrapolando hacia el pasado, a partir de la tasa de expansión actual, los astrónomos deducen que el Big Bang habría ocurrido unos 10.000 o 20.000 millones de años atrás. La imprecisión refleja la incerteza acerca de las distancias galácticas, la cantidad de materia en el universo (la que afecta la tasa de expansión) y otros factores de menor importancia.

El segundo pilar es la existencia de un fondo de radiación cósmica de microondas (FRCM) (ver CIENCIA HOY "La exploración del fondo cósmico", 19:6-10, 1992), descubierto en 1965 por Arno A. Penzias y Robert Wilson, de la Bell Telephone Laboratories. El FRCM es el remanente de la intensa radiación electromagnética primordial que, una vez formados los átomos, comenzó a viajar libremente. Este fondo homogéneo e isótropo (hasta cinco partes por millón, de acuerdo con las recientes mediciones del satélite COBE) posee una temperatura aproximada de 2,73 K (es decir, muy cerca del cero absoluto). Su existencia fue uno de los argumentos más fuertes que sustentaron, en su momento, al MCE.

Finalmente, el tercer pilar lo proporciona la abundancia relativa de elementos observada en nuestro universo: el hidrógeno da cuenta de unas tres cuartas partes de la masa total y el helio, de un cuarto, con sólo trazas de los elementos más pesados. Varios físicos han calculado que, en un universo caliente, el Big Bang habría forjado los elementos en la proporción medida (a través del proceso convencional de fusión nuclear). A esta etapa de la evolución se la denomina nucleosíntesis.

Como dijimos, debido a la intensidad de las fuerzas involucradas, en el MCE el campo gravitatorio se describe mediante la Teoría de la Relatividad General de Einstein (TRG). El Universo es así representable como un espacio-tiempo cuadridimensional con ciertas propiedades matemáticas. Teniendo en cuenta las características de homogeneidad e isotropía del Universo, toda la estructura matemática se puede modelar con una sola función temporal, conocida como el factor de escala (o más vagamente: el radio) del Universo.

Hasta aquí hemos descrito las bases que sustentan al MCE. Veamos algunos de sus defectos. Existe el llamado "problema de la homogeneidad". ¿Por qué el fondo cósmico de radiación tiene la misma temperatura sin importar dónde se lo mida? Los cálculos sugieren que la bola de fuego primordial se expandió demasiado rápido para que todas sus partes intercambiaran radiación y así alcanzaran equilibrio térmico. ¿Cómo es que está todo a la misma temperatura?

Se encuentra también el denominado "problema de la planitud", originado en la TRG que establece que la materia, a través de la influencia de la gravedad, ocasiona que el espacio se curve. Este efecto tiene consecuencias desagradables en un universo en expansión. Si la cantidad de materia por unidad de volumen en el universo (esto es, su densidad de masa) está sobre cierto nivel critico, el espacio se curva sobre sí mismo de tal manera que las líneas paralelas convergen. Aún más significativamente, la gravedad podría frenar la expansión del Universo y ocasionar el colapso en un gran estrujamiento (el Big Crunch) -a tal universo se lo denomina cerrado-. Si la densidad de masa cae debajo del nivel crítico, las líneas paralelas divergen y el universo se expande por siempre -conocido como universo abierto-. Si la densidad de energía es precisamente la crítica, el universo se mantiene en expansión por siempre, pero a una tasa cada vez menor. Este se denomina universo plano, ya que el espacio no posee curvatura: las líneas paralelas se comportan exactamente como Euclides postuló que lo hacen y como se comportan en nuestra realidad cotidiana. Las observaciones actuales sugieren fuertemente que el universo es casi plano. Diversos cosmólogos han argumentado que el carácter aparentemente plano del universo representa una extraordinaria coincidencia. Si el universo hubiera tenido un poco más de materia de la que tiene, habría colapsado hace largo tiempo; un poco menos y se habría expandido demasiado rápidamente como para que las estrellas y galaxias pudieran formarse. Esta situación tan peculiar corresponde a condiciones iniciales muy restrictivas (de muy fina sintonización), al comienzo de la evolución.

Para resolver estos problemas se ha postulado el modelo del Universo Inflacionario. En él se sugiere que en el universo primitivo existió un período de expansión donde el factor de escala creció exponencialmente. De acuerdo con este esquema, todo el Universo observable no es más que una pequeña burbuja en un cosmos vastamente más grande, y la mayor parte de la materia fue creada virtualmente de la nada. Toda la radiación dentro de esta pequeña región pudo mantenerse en equilibrio térmico y no existe contradicción con las observaciones presentes.

Asimismo, la inflación provee una respuesta al problema de la planitud: de la misma forma que inflar un globo hasta mil veces su tamaño normal provoca que su superficie se vea más plana para un observador cercano (más precisamente para un observador que viva sobre la superficie), así la inflación aplana la región del universo que puede ser observada. En tal universo plano, la densidad de materia se fija en el nivel crítico.

La inflación aun brinda una explicación para la formación de galaxias. De acuerdo con la física cuántica, todo campo de energía fluctúa constantemente en intensidad a nivel subatómico. Los picos creados por estas fluctuaciones cuánticas en el universo primitivo se habrían vuelto lo suficientemente grandes, después de la inflación, como para servir de semillas de estrellas y galaxias. La gravedad habría hecho el resto del trabajo.

El modelo del Universo Inflacionario debe desembocar en el MCE, por lo tanto, en algún momento, la inflación debe detenerse y el universo evolucionar en una forma dominada por la radiación -como el MCE lo predice para el universo primitivo-. En los modelos más simplificados esto se logra simulando la radiación mediante un solo campo, con determinadas propiedades matemáticas: que no tenga masa y tenga un acoplamiento muy simple con la gravedad. La dinámica de estos modelos ha sido estudiada en detalle y presenta un comportamiento muy sencillo. Sin embargo, ciertos efectos presentes en las teorías de campo (lo que se ha llamado "rotura espontánea de simetría"), pueden ocasionar que este campo escalar adquiera masa y aumente notablemente la complejidad del sistema. Aquí es donde el caos entra en juego (ver recuadro "Sistemas dinámicos y caos").

INFLACIÓN Y CAOS

¿Cómo ha contribuido el estudio de los sistemas dinámicos a entender la evolución del universo primitivo? Como materia de estudio consideremos primero un universo cerrado, isótropo, homogéneo y lleno con un fluido: un campo de radiación (el campo de inflación) que, en principio, no posee masa. Una vez que la inflación comienza, el comportamiento dinámico del sistema es bastante simple: el universo sufre una etapa de expansión exponencial (llamada tipo De Sitter), como se acepta actualmente. Es en este escenario donde es posible encontrar comportamientos extremadamente complejos en etapas previas a la inflación.

Si el campo de radiación no tiene masa, los dos grados de libertad del sistema (el factor de escala y el campo) están desacoplados y el sistema es exactamente integrable, es decir, se puede resolver analíticamente. En efecto, las ecuaciones de movimiento que resultan corresponden a las de dos osciladores (péndulos) desacoplados y el sistema posee una separatriz (ver recuadro "Sistemas dinámicos y caos") dentro de la cual el movimiento corresponde a universos que re-colapsan reiteradamente (similar a las trayectorias cerradas de la figura II del recuadro). Las órbitas exteriores, en cambio, son no cerradas y se aproximan asintóticamente a las soluciones inflacionarias (el factor de escala crece exponencialmente). En otras palabras, para un campo de radiación sin masa existe una clara distinción entre universos que recolapsan y universos inflacionarios.

Detalles del Hubble Deep Field. Enero de 1996 (Instituto Científico del Telescopio Espacial, NASA) Detalles del Hubble Deep Field. Enero de 1996 (Instituto Científico del Telescopio Espacial, NASA)

Si suponemos ahora que el campo tiene masa, se inducen acoplamientos entre las variables (como en el caso de la perturbación del péndulo en el recuadro "Sistemas dinámicos y caos"), que dan origen a resonancias internas. Como consecuencia, la separatriz desaparece y es reemplazada por una nueva clase de estructura: la capa estocástica. La separación entre condiciones iniciales de inflación y recolapso se vuelve menos clara, órbitas por debajo de la separatriz original pueden escapar y convertirse en inflacionarias mediante un proceso de difusión a través de la capa estocástica (ver figura 1).

Fig 1. Sección de Poincaré del modelo cosmológico. La linea sólida corresponde al comportamiento no perturbado inflacionario). Los puntos son resultado de la simulación numérica, observar cómo las trayectorias que escapan se acercan al comportamiento inflacionario.
Fig 1. Sección de Poincaré del modelo cosmológico. La linea sólida corresponde al comportamiento no perturbado inflacionario). Los puntos son resultado de la simulación numérica, observar cómo las trayectorias que escapan se acercan al comportamiento inflacionario.

El resultado de resolver las ecuaciones del modelo mediante simulaciones numéricas conduce a la figura 1, la cual es una vista general de la sección de Poincaré (ver recuadro) accesible al sistema. Sobrepuesta a los puntos correspondientes al estado del sistema, se halla la solución analítica (línea sólida), correspondiente al sistema no perturbado. La separación entre esta y los puntos de la simulación numérica se puede considerar una medida del ancho de la capa estocástica. Se observa claramente que todas las órbitas que se alejan lo suficiente de la región cerrada se aproximan a la trayectoria (inflacionaria) esperada.

La figura 2 exhibe una ampliación de la parte superior de la anterior. Se ve claramente una isla de estabilidad secundaria. En los sistemas no integrables existe una jerarquía infinita, de tal manera que alrededor de cada isla secundaria hay un conjunto de islas de tercer orden, alrededor de cada una de estas se encuentra una cadena de islas de cuarto orden y así siguiendo. A medida que el orden en la jerarquía crece, el tamaño de las islas correspondientes decrece. Este comportamiento se hace manifiesto en la figura 2, donde se distingue, además, una cadena de islas terciarias.

Fig 2. Ampliación de la parte superior de la figura 1 (compárense las coordenadas) Se comprueba que lo que parecía una región más oscura corresponde a una isla de estabilidad, con una estrucutura muy rica. Se paecia la aparición de islas de estabilidad de tercer orden.
Fig 2. Ampliación de la parte superior de la figura 1 (compárense las coordenadas) Se comprueba que lo que parecía una región más oscura corresponde a una isla de estabilidad, con una estrucutura muy rica. Se paecia la aparición de islas de estabilidad de tercer orden.

Sin embargo, la localización de la capa estocástica en el espacio de fases es propia de los sistemas con sólo dos grados de libertad y no ocurre en sistemas de dimensión más alta (con más variables). Un universo no homogéneo es un ejemplo de estos sistemas y el nuestro no puede ser exactamente homogéneo pues, de lo contrario, nunca se habrían formado la estrellas, las galaxias y, obviamente, no existiría el lector de este articulo.

Por esta razón resulta de interés considerar cómo afecta al resultado anterior la presencia de una pequeña contribución "inhomogénea" en el campo de radiación. Ahora bien, existe una propiedad fundamental que distingue a los sistemas con más de dos grados de libertad: la difusión de Arnold. En sistemas con dos grados de libertad, las regiones caóticas siempre están divididas por superficies invariantes (llamadas toros) que actúan como barreras infranqueables en las secciones de Poincaré. Pero con más de dos grados de libertad hay dimensiones extra en el espacio de fases que las trayectorias pueden utilizar para evitar tales toros invariantes y, en principio, explorar la totalidad del espacio de fases. Desafortunadamente, este comportamiento es muy difícil de visualizar numéricamente y sólo puede observarse en el borde de la región caótica.

Para comprobar este fenómeno, Calzetta y el autor realizaron numerosas simulaciones numéricas con diferentes condiciones iniciales. Esencialmente, la idea fue verificar si existe una división clara entre las condiciones iniciales que corresponden a trayectorias acotadas (estables) y las trayectorias inflacionarias (inestables), o por el contrario, si los toros ya no dividen el espacío de fases en regiones regulares y estocásticas y, entonces, podemos concluir que se venfica el fenómeno de difusión de Arnold.

Para realizar el experimento numérico se fijaron todas las variables del sistema menos dos, estas se variaron en una grilla o cuadrícula, que correspondía a un gran número de condiciones iniciales del sistema. La elección se hizo de tal manera que el sistema evolucionara a partir de condiciones iniciales muy cercanas al borde de la región caótica, para determinar cuáles correspondían a trayectorias estables y cuáles no. La figura 3 corresponde a una caracterización del mapa en el espacio de condiciones iniciales (como lo enunciamos, fijando todas menos dos de ellas). Se trabajó con más de 2000 conjuntos distintos de condiciones iniciales. Las regiones pintadas de naranja corresponden a trayectorias inestables, esto es, a órbitas que se convierten en inflacionarias. Las regiones verdes indican trayectorias estables que recurren al menos 1000 veces sobre la sección. Se observa claramente la ausencia de una división neta entre trayectorias estables e inestables.

Fig 3. Mapa en el espacio de las condiciones iniciales. Los ejes están asociados a las dos variables que se utilizan para "mapear" el espacio de fases. el radio del universo y la amplitud de la componente homogénea del campo de radiación. cada "#" corresponde a una trayectoria inflacionaria y cada "#", a una trayectoria que colapsa. como se puede observar, no existe una distinción nitida entre universos que recolapsan y universos que inflan
Fig 3. Mapa en el espacio de las condiciones iniciales. Los ejes están asociados a las dos variables que se utilizan para "mapear" el espacio de fases. el radio del universo y la amplitud de la componente homogénea del campo de radiación. cada "#" corresponde a una trayectoria inflacionaria y cada "#", a una trayectoria que colapsa. como se puede observar, no existe una distinción nitida entre universos que recolapsan y universos que inflan

Se verificó, así, que las órbitas inflacionarias pueden nacer bien dentro de la región regular, y que cualquier perturbación puede enviarlas a una etapa inflacionaria. Este esquema sugiere la existencia de una red (la Red de Arnold), que conecta la casi totalidad del espacio de fases. Vemos entonces que, aun cuando el sistema evolucione hacia una etapa inflacionaria, el proceso no es de ninguna manera trivial. La complejidad del comportamiento dinámico es obviamente muy grande; existe una estructura muy rica detrás de este modelo aparentemente simple.

A partir de esto quedó claro que, algunos efectos que aparecen usualmente en el estudio de la teoría de sistemas dinámicos (tales como resonancias internas, rotura de separatrices y difusión de Arnold), ocurren también en cosmología y conducen a comportamientos no triviales en el universo primitivo, aun en el caso de modelos sencillos, que concuerdan con los resultados aceptados actualmente. Por supuesto, analizar modelos más complejos, con todos sus detalles, requiere de técnicas analíticas y numéricas mucho más sofisticadas que las aquí desarrolladas. No obstante ello, consideramos que es posible obtener abundante información, al menos en forma cualitativa, mediante el uso de los métodos y técnicas que la teoría de sistemas dinámicos nos provee.

Lo destacable es que la fusión de la cosmología y la teoría de sistemas dinámicos nos permite una visión más profunda de ciertos problemas esenciales, hasta el punto de que el caos puede considerarse como la llave maestra para entender el origen de la evolución de nuestro universo.

Agradecimientos
Al Dr. E. Izquierdo, por revisar mis innumerables versiones previas y a la Lic. R. Hansen, por su entusiasta lectura de la versión final. A ambos, por su apoyo y estímulo constante.

Lecturas Sugeridas

BORNER, G., 1988, "The Early Universe", New York. Springer-Verlag, Second Ed. 1992.

CALZETTA E. and EL HASI C., 1995 "Nontrivial Dynamics in the Early Stages of Inflation", Ph ys. Rev. D51, 2713.

EL HASI C., 1996 "Non Trivial Dynamics and Inflation", en Chaos in Gravitational N-Body Systems, de. J.C. Muzzio et al (Kluwer Academic Publishers) 239-244.

LINDE, A. D., 1983, Phys. Lett. 129B, 177.

REICHL L. E. and ZHENG W. M., 1987, "Non Linear Resonance and Chaos in Conservative Systems", en Directions in Chaos, ed. Hao Bai-Lin (Singapur, World Scientific).

WEINBERG, 5.1972, "Gravitation and Cosmology", New York, John Wiley.

J. P. CRUTCHFIELD, J. D. FARMER, N. H. PACKARD Y R. S. SHAW, 1987 "Caos" lnvestigación y Ciencia, ed. Prensa Científica.

Claudio D. El Hasi

Claudio D. El Hasi

Instituto de Ciencias Nacional de General Sarmiento e Instituto de Astronomía y Física del Espacio. UBA
Ciencia Hoy
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